Beschreibung
Von der Großraumstruktur des Universums bis hin zu exotischen Zuständen in nuklearer Materie: auf beinahe allen Längenskalen und in sehr unterschiedlichen physikalischen, chemischen oder biologischen Systemen treten zufällige oder ungeordnete räumliche Strukturen auf. Bei komplexen Strukturen gibt es oft e.g. Beziehungen zwischen physikalischen und geometrischen Eigenschaften. Dabei können Einsichten in das physikalische Verhalten oft am Besten durch eine rigorose Strukturbeschreibung gewonnen werden. Diese Arbeit zeigt wie eine Familie integralgeometrischer Formmaße, die sogenannten Minkowski Funktionale und Tensoren, eine intuitive und vielseitige morphometrische Analyse ermöglichen. Diese beschreibt sensitiv und umfassend die Geometrie in unterschiedlichen Systemen auf verschiedensten Längenskalen.
Die morphometrische Analyse wird erweitert und auf mathematische Modelle und physikalische Systeme angewandt ebenso wie auf experimentelle Datensätze. Zum Beispiel werden Strukturen untersucht, welche in Modellen aus der stochastischen Geometrie auftreten, mit einem besonderen Schwerpunkt auf Anisotropie. In einem dieser Modelle helfen die Minkowski Funktionale einen geometrischen Phasenübergang besser zu verstehen und vorherzusagen. Darüber hinaus zeigt eine Strukturbeschreibung über verschiedene Größenordnungen hinweg für ein physikalisches Modell, welches aus harten Teilchen besteht, wie Systeme mit ähnlichen lokalen Anordnungen trotzdem eine deutlich verschiedene globale Struktur aufweisen können. Auf extrem kleinen Längenskalen helfen die Minkowski Funktionale komplexe Formen exotischer Zustände nuklearer Materie zu charakterisieren. Unter einer Vielzahl dieser sich spontan bildenden sogenannten Pasta Formen wird ein Gyroidnetzwerk identifiziert. Dieses wurde zum Beispiel schon in den Schuppen von Schmetterlingsflügeln gefunden. In einer morphometrischen Datenanalyse quantifizieren die Minkowski Funktionale die Form des Rauschens in Himmelskarten der Gammastrahlenastronomie. Dadurch kann den Daten zusätzliche geometrische Information entnommen werden ohne jegliche a priori Annahmen über mögliche Quellen. Letztere können dann detektiert werden durch eine signifikante Abweichung der Struktur der beobachteten Himmelskarten von der des Hintergrundrauschens. Durch eine verbesserte Beschreibung dieser Hintergrundstruktur können ehemals undetektierte Quellen nun in denselben Datensätzen gefunden werden.
Die Minkowski Funktionale und Tensoren ermöglichen ein besseres Verständnis von sehr verschiedenen mathematischen Modellen und physikalischen Systemen sowie eine sensitivere Analyse experimenteller Beobachtungen. Dadurch verbindet die morphometrische Analyse scheinbar unzusammenhängende Forschungsgebiete.
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