Beschreibung
Triangulierungen, die anschaulich eine Zerlegung eines Raums in simpliziale Grundbausteine sind, haben eine große Bedeutung in verschiedenen Bereichen der Physik: Sie werden verwendet, um komplizierte und gekrümmte Objekte wie Schäume, Gele oder poröse Materialien in einer diskretisierten From zu beschreiben, oder um gekrümmte Randbedingungen in Fluidsimulationen oder dissipativen Systemen zu diskretisieren. Indem man Triangulierungen als (maximal planare) Graphen interpretiert, können sie in der Graphentheorie oder der statistischen Physik eingesetzt werden, beispielsweise als Kleine-Welt-Netzwerke, als Spinnetzwerke oder in der biologischen Physik als Aktinnetzwerke. Da eine zur Einstein-Hilbert-Wirkung analoge Form einer Wirkung auf Triangulierungen bestimmt werden kann, ist es sogar möglich, mit ihrer Hilfe Theorien in der Quantengravitation zu formulieren. Weiterhin gibt es für Triangulierungen wichtige Anwendungen in der Mathematik, insbesondere in der diskreten Topologie.
Trotz ihrer Bedeutung in den verschiedensten Teilgebieten der Physik und der Mathematik sind immer noch einige wichtige Fragen über Triangulierungen unbeantwortet. So ist a priori unbekannt, wie viele verschiedene Triangulierungen es zu einer gegebenen Punktmenge oder zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit gibt, oder ob es in Abhängigkeit der Systemgröße exponentiell viele oder mehr Triangulierungen gibt (diese Frage ist von Bedeutung für die Konvergenz bestimmter Modelle in der Quantengeometrie). Eine weitere wichtige und zugleich ungeklärte Frage ist, ob die elementaren Schritte, die in Computersimulationen zur Transformation von Triangulierungen verwendet werden, ergodisch sind.
Verwendet man Triangulierungen in Modellen für quantisierte Raumzeiten, ist es ebenfalls nicht bekannt, ob ein sinnvoller Kontinuumsgrenzwert existiert, und ob ein eventuell existierender Grenzwert der vielfachexperimentell bestätigten allgemeinen Relativitätstheorie entsprechen würde.
In der vorliegenden Arbeit werden dieser fundamentalen Fragen mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen untersucht. Diese Simulationen sind im Allgemeinen ein Werkzeug zur Berechnung von hochdimensionalen Integralen, und in der statistischen Physik im Speziellen eine probabilistische Methode zur Berechnung von Erwartungswerten oder höheren Momenten. In der vorliegenden Arbeit hauptsächlich der Wang-Landau-Algorithmus als Spezialfalle einer Monte-Carlo-Simulation verwendet, und daher ebenfalls einige seiner Eigenschaften im Detail untersucht.
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