Beschreibung
In dieser Arbeit betrachten wir die Modellreduktion von parameter-abhängigen parabolischen Differentialgleichungen auf Netzwerken mit variabler Anordnung. Für diese Art von Problemstellung ist die Reduced Basis Element Method (RBEM), welche von Maday und Rønquist entwickelt wurde, eine sinnvolle Wahl, da eine Lösung des gesamten Problems nicht erforderlich ist. Die Methode basiert auf der Idee, für jede einzelne Komponente eine eigene reduzierte Basis zu berechnen und diese dann mit Hilfe der Mortar Element Method zu koppeln. Vor allem bei Netzwerken, die aus zahlreichen Kanten bestehen, kann dieses Vorgehen auch zu Schwierigkeiten führen. Auf Grund der variablen Zusammensetzung des Netzwerks, ist es extrem schwierig die Lösung an den Schnittstellen vorherzusagen. Dies kann zu unzureichenden Basisfunktionen und somit zu einer schlechten Approximation der globalen Lösung führen.
Anhand von Netzwerken, die aus eindimensionalen Gebieten bestehen, präsentieren wir eine Erweiterung der RBEM, welche diese Probleme behebt und für jede einzelne Kante eine gute Basisdarstellung zur Verfügung stellt. Die grundlegende Idee ist die Verwendung einer spline-basierten Randparametrisierung in der lokalen Basiskonstruktion. Um die Approximationseigenschaften unserer Basisfunktionen nachzuweisen, entwickeln wir eine Fehlerabschätzung für die lokale Basiskonstruktion mit POD und POD-Greedy. Zusätzlich zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit sowie Regularitätseigenschaften für parabolische Differentialgleichungen auf Netzwerken, bestehend aus eindimensionalen Gebieten, da diese essentiell für die Fehleranalyse sind.
Abschließend veranschaulichen wir unsere Methode anhand von drei Beispielen. Das erste basiert auf der präsentierten Theorie und zeigt zwei unterschiedliche Netzwerke, die aus eindimensionalen Wärmeleitungsgleichungen mit unterschiedlichen Wärmeleitkoeffizienten bestehen. Das zweite und dritte Beispiel zeigt die Erweiterbarkeit unseres Ansatzes auf komponenten-basierte Gebiete in 2D und nichtlineare Differentialgleichungen. Beide Beispiele waren Teil des Forschungsprojektes Lebenszyklus orientierte Optimierung einer ressourcen- und energieeffizienten Infrastruktur, welches durch das deutsche Bundesministerium für Bildung und Forschung finanziert wurde.
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