Beschreibung
Die Superstring-Theorie und die Schleifenquantengravitation (LQG) sind vielversprechende Ansätze zur Formulierung einer Quantentheorie der Gravitation. Die Superstring-Theorie zielt auf die Vereinheitlichung aller fundamentalen Kräfte der Natur ab und sagt dabei Supersymmetrie und sogar höhere Raumzeitdimensionen voraus. Die LQG hingegen nimmt einen konservativeren Standpunkt ein, indem sie neue Quantisierungstechniken vorschlägt, welche die zentralen Prinzipien der allgemeinen Relativitätstheorie berücksichtigen.
Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine Brücke zwischen LQG und der Superstring-Theorie zu schlagen durch Vereinigung der LQG mit dem Konzept der Supersymmetrie. Hierzu wird der mathematische Apparat für eine mathematisch rigorose Beschreibung der zugrundeliegenden geometrischen Strukturen von Supergravitationstheorien, d.h. supersymmetrischen Erweiterungen der Einsteinschen Gravitationstheorie, entwickelt. Dieser Ansatz führt u.a. zu einer Neuformulierung der Theorie, in welcher sich (zumindest ein Teil) der Supersymmetrie in Form einer Eichsymmetrie manifestiert.
Unter Verwendung der Interpretation der Supergravitation im Sinne einer Super-Cartan-Geometrie wird die Holst-Variante der MacDowell-Mansouri-Wirkung für (erweiterte) AdS-Supergravitationstheorien in D=4 für beliebige Werte des Barbero-Immirzi-Parameters – ein freier Parameter der Theorie – abgeleitet. Außerdem wird gezeigt, dass diese Wirkungen eindeutige Randterme liefern, die die lokale Supersymmetrie-Invarianz an den Grenzen sicherstellen.
Der chirale Fall ist ein Sonderfall: Die Wirkung ist invariant unter einer erweiterten Eichsymmetrie, die Randtheorie ist eine topologische Super-Chern-Simons-Theorie, und ein chiraler Zusammenhang tritt zutage, welcher eine natürliche Verallgemeinerung des Ashtekar-Zusammenhangs im supersymmetrischen Kontext darstellt. Unter Ausnutzung der erweiterten Eichsymmetrie wird eine Quantisierung der Theorie vorgeschlagen, die die Standardwerkzeuge der LQG verallgemeinert.
Diese Ergebnisse bieten einen Ausgangspunkt für Anwendungen im Kontext supersymmetrischer Schwarzer Löcher und Quantenkosmologie. Dort erweist sich die erweiterte Eichsymmetrie als ein vielversprechendes Werkzeug, das in der Zukunft viele Erkenntnisse zur Verknüpfung der beiden Theorien liefern kann.
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